今天，我想聊聊当下数学竞技考试的技巧陷阱与学术认知深度之间的巨大断层。 一路走来，我听过太多人讲齐次化、定比点差、极点极线、仿射变换、蒙日圆、丹德林双球，这些看起来花哨又硬核，实际上在现代数学和物理的语境下，绝大部分都只是19世纪甚至更早时期解析几何与初等几何的遗木，经过高考和诸如MST这种竞赛培训机构的包装与解题技巧化之后，变成了应试环境下的二级结论。 十年前，我也会觉得高考压轴题很精妙。 现在，我只想说，无论是圆锥曲线还是导数，本质上是只是在极其狭窄的公理体系与工具限制下，制造人工复杂性。 在此，我举一个例子，仿射变换与极点极线。 在射影几何与线性代数的框架下，其实这不过是简单的线性变换与对偶空间性质，几行矩阵运算就能优雅消解。 而对于导数压轴题的技巧，在实分析和泛函分析的视野下，许多构造性不等式只是更一般化定理，比如凸分析、测度论相关性质，这些东西的特例。 用高考技巧炫耀，就像是在练一套极其繁复的锁匙功去开一把特定的旧锁。 而现代数学发展出的，是直接把整个门连同墙壁一起推倒的装甲车。 二级结论的炫耀，应试教育中非常普遍，我认为根源可能在于信息差与局部最优解。 在中学阶段，学生接触不到更高维度的工具，只能在现有工具集里将技巧练到极致。 因此，谁掌握了能秒杀复杂计算的二级结论，谁就认为在局部战场拥有了神力。 但是这是错误的。从数学思维本身。 背诵几十个圆锥曲线二级结论并能快速套用，是模式识别与记忆力的胜利，这并不是数学创造力、思维能力的胜利。 高考需要制造区分度，但它受限于中学的教学大纲，所以只能在初等数学的边界内把运算和技巧推向畸形的极致。 当你跳出高考和竞赛的框架，尝试进入科研或工程时，即使尚不明晰，但你会发现数学和科学的魅力远不在于做出一道压轴题。 那是一种高压缩率与极简主义。 那是一种问题的选择与范式构建。 说到底，高考数学，高中数学，大部分只是翻译条件，计算关系而已。 如果在高考结束后，仍然痴迷于二级，沉迷于讲高考数学的各种之乎者也，其实仍然在追求成为高精度的符号处理器。 我希望，大家对数学本身持有一种更明智的态度，那或许就是在规则内以极高的效率驾驭它、通过它，但绝不让它的局限性框定你对数学科学与世界真实运行规律的理解。 毕竟，如果一个人可以在经主动把复杂的动态过程看作相空间中的轨迹，把数据拟合看作高维 Hilbert 空间中的投影，这种直觉，我认为其远比算出一个具体的交点坐标要深刻得多。

这几个麻省理工的免费 AI 课程，看完直接入职大厂! 从入门到精通，涵盖小白 AI 入门、深度学习、机器学习到生成式 AI 1. AI 101 教你 AI 基本术语和思路，适合完全小白先打底 2. 生成式 AI 解释 ChatGPT 等基础模型如何运作，比上一门课程多一点技术细节，但还是概览性质。 3. 如何 AI 化任何事物 这门课程侧重把 AI 用到音乐、艺术、系统设计等创意领域，需要一点 Python 基础 4. 深度学习训练营 这门课程动手实验多，适合想快速上手神经网络的同学。需要初等微积分和线性代数基础知识 5. 机器学习导论 核心课，需要线性代数 + 概率统计 + 编程基础。真正教你会用的 ML 算法 6. 人工智能 经典本科 AI 课，教知识表示、问题求解、搜索算法等传统 AI 方法论，需要编程经验、离散数学等 CS 基础，逻辑和算法思维要求高

个人感觉，过度的数学竞赛训练确实容易形成几种难以逆转的思维模式。 之前听一位同学说，参加太多的数学竞赛，做了太多的竞赛题目，可能是优势，也可能是劣势，毕竟思维一旦被约束形成思维定势，那将会很难改变。 正如数学家格罗滕迪克著名的坚果比喻。竞赛就像用锤子猛力击碎坚果，而真正的现代数学研究是把坚果浸泡在理论的大海里，直到壳自然融化。 现代数学研究，往往需要阅读上百页推导、花几个月甚至几年去建立一个概念框架，早期几乎没有任何解题的即时反馈。 可竞赛题必然存在优雅的解答；而研究面对的命题可能根本就是错的，或者现有工具完全无法回答。这种面对未知和漫长无果的抗挫力，是竞赛无法训练的。 虽然 ，IMO 并不等于研究，但我们确实看到像陶哲轩、彼得·舒尔茨、玛利亚姆·米尔扎哈尼，还有如今的邓煜等菲尔兹奖得主都是 IMO 金牌得主。 但我认为，这背后的关键在于转向的时机与能力，需要自我开悟与高人点拨。 IMO 顶级选手的数学直觉、逻辑密度与专注度极高，这些是做任何深奥研究的基础硬件。 可Early Transition也是同等重要。 像舒尔茨或陶哲轩，他们在极年轻的时候就已经不再满足于初等竞赛技巧，迅速进入现代代数几何、分析学等高等领域，完成从解题到建构的蜕变。 竞赛是短跑，研究是远征。